Segnali, teorema di Shannon, spettri, segnali canonici e campionamento

I SEGNALI

Un’onda è una perturbazione che si propaga in un mezzo o nel vuoto. Il suo studio ne ha reso possibile l’applicazione in diversi campi. Uno di questi è l’informatica, che sfrutta le onde (chiamate segnali) per la trasmissione di dati.
I segnali percorrono uno spazio in un determinato tempo e sono quindi funzione dello spazio e del tempo.

 

Classificazione
E’ possibile classificare i segnali in due grandi categorie:

  • periodici: che nel variare del tempo, assumono ciclicamente sempre le stesse caratteristiche.
  • aperiodici (non periodici): non assumono un andamento ciclico e per poterli studiare, e quindi utilizzare, vengono scomposti in frammenti.

Caratteristiche
Le caratteristiche fondamentali di un segnale sono l’ampiezza, il periodo e la fase dalle quali si possono ricavare la frequenza e la velocità angolare.

L’ampiezza (indicata con A) è il modulo del valore massimo che può assumere il segnale.

Il periodo (indicato con T) è il tempo necessario al segnale per completare un ciclo completo.

La fase (indicata con φ [fi]) è il valore che assume il segnale all’inizio di ogni ciclo.

La velocità angolare (indicata con ω) è la velocità della sinusoide nell’attraversare lo spazio. Essa quindi è uguale 2π/T o 2πf.

La frequenza (indicata con f) è l’inverso del periodo, che rappresenta il segnale nel dominio delle frequenze. Le sue rappresentazioni sugli assi cartesiani (con l’ampiezza o la fase sull’asse delle ascisse e la frequenza sull’asse delle ordinate) vanno a formare un segmento di retta chiamata riga spettrale. Essi prendendo rispettivamente il nome di Spettro delle ampiezza e Spettro della fase.

 


Concludendo la descrizione matematica di un segnale è f(x)=Asin(2π/T+φ) oppure f(x)=Asin(ωt+φ). 

 

 

LA TRASFORMATA DI FOURIER

La rappresentazione di una funzione periodica come somma di funzioni periodiche è detta serie di Fuorier. Espressa matematicamente assume la seguente forma: 

 

dove:

  • C0 è il cofficiente fondamentale di Fourier pari a

  • Ck sono i multipli del coefficiente fondamentale di Fourier pari a

  • fk sono i multipli della frequenza fondamentale, cioè della frequenza del segnale in esame.
  • φk sono i multipli della fase fondamentale, cioè della fase del segnale esaminato.

Ciò ci permette quindi di scomporre un segnale, e quindi un’informazione, in tutte le sue componenti dette armoniche.

Un esempio dell’applicazione pratica di questo concetto lo troviamo nella riproduzione di brani musicali, dove il segnale del suono è composto da una solo segnale composto da diverse sinusoidi che rappresentano il suono di ogni singolo strumento.

 

 

GLI SPETTRI E LA TRASFORMATA DI FOURIER

Considerando oggetto della trasformata di Fourier gli spettri di un segnale, nella sua rappresentazione troviamo una serie di righe spettrali distanziate da Fk, multiplo della frequenza fondamentale.

Aumentando il periodo, la frequenza diminuisce e righe spettrali si avvicinano tra di loro. Ipotizzando di far tendere il periodo all’infinito (e quindi ipotizzando un segnale aperiodico) la sua frequenza tenderà a zero, fondendo le rette in una linea continua.

 

 

 

SEGNALI CANONICI

I segnali canonici sono forme d’onda elementari (detti segnali di prova) dalla cui combinazione lineare si possono ottenere segnali più complessi.
I principali sono: l’impulso di Dirac, la funzione Gradino Unitario, la funzione Rampa Unitaria, la funzione Rampa Parabolica e i segnali seno e coseno

L’impulso di Dirac imp(t) è uguale a:

{

1/ε

Quando

0<t< ε con ε → 0

0

Quando

t<0 U t> ε



La funzione Gradino Unitario sca(t) è uguale a:

{

0

Quando

t<0

t

Quando

t≥0

La funzione Rampa Unitaria ram(t) è uguale a:

{

0

Quando

t<0

t

Quando

t≥0

 

La funzione Rampa Parabolica par(t) è uguale a:

{

0

Quando

t<0

t&sup2;/2

Quando

t≥0

 

 

DA ANALOGICO A DIGITALE: IL CAMPIONAMENTO

Per analogico si intende un segnale che può assumere un numero infinito di valori. Al contrario, per digitale si intende un segnale che può assumere solo un numero discreto di valori. Il campionamento ci permette di convertire un segnale da analogico a digitale attraverso il teorema di campionamento di Shennon, che mette in relazione la velocità di campionamento e la velocità di cambiamento dell’evento da campionare, al fine di poter riprodurre con completezza tutti i cambiamenti. Con l’equazione fc ≥ 2f il teorema di Shennon afferma che la frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio della massima frequenza dell’evento da campionare, per evitare una sovrapposizione dei segnali campionati detta aliasing.
Ecco due esempi: nel primo troviamo un segnale che rispettando il teorema di Shennon è campionato correttamente, al contrario del secondo.

Un esempio possono essere i cartoni, per la cui realizzazione vengono prima disegnati i "campioni", i quali, proiettati o trasmessi in rapida successione, generano il movimento. Un campionamento troppo lento non può permettere di riprodurre adeguatamente il movimento (come nei cartoni animati di bassa qualità, nei quali sono realizzati pochi campioni che generano l’effetto di movimenti a scatti).

 

 

Per commenti, suggerimenti e correzioni scrivetemi pure! 😉

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4 Responses to Segnali, teorema di Shannon, spettri, segnali canonici e campionamento

  1. magnus says:

    c’è un errorino nella definizione gradino unitario..è ovvio ma qlcn potrebbe nn notarlo: è =0 per t=0..

  2. Gianluca says:

    scusami, potrei avere qualche esercizio sul teorema del campionamento??

  3. pingu says:

    Cristian ti ringrazio per la puntualizzazione… Ho verificato e corretto l’errore!

  4. cristian says:

    mi spiace ma l’onda non è una perturbazione che si muove necessariamente su un supporto:
    quando studierai le leggi di maxwell (con gli op. differenziali) ti accorgerai che ad esempio la luce (chè è un’onda) si propaga nel vuoto!!
    cioè senza supporto…
    …e da lì nacque la fisica quantistica.

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